Quantitative Aptitude
Surds and Indices
पडताळलेले उत्तर (Verified)
MPSC सराव प्रश्न:
जर $[(81 \text{ चा } x \text{ घात}) \div (27 \text{ चा } 3 \text{ घात})] \times (3 \text{ चा } 2 \text{ घात}) = 3$ असेल, तर $x$ चे मूल्य किती?
If $(81^x \div 27^3) \times 3^2 = 3$, then what is the value of $x$?
पर्याय (Options):
A
3
B
अचूक उत्तर (Official Answer)
2
C
1
D
10
सविस्तर स्पष्टीकरण (Detailed Explanation):
अचूक उत्तर: पर्याय (2)
१. सर्व संख्यांचा पाया 3 करू:
- $81 = 3^4 \implies 81^x = 3^{4x}$
- $27 = 3^3 \implies 27^3 = (3^3)^3 = 3^9$
- दिलेले पद: $3^2$ आणि उजवी बाजू: $3 = 3^1$
२. समीकरणात पाया 3 ठेवून मांडणी:
$$(3^{4x} \div 3^9) \times 3^2 = 3^1$$
३. घातांकांचे नियम वापरू:
$$3^{4x - 9 + 2} = 3^1$$
$$3^{4x - 7} = 3^1$$
४. पाया समान असल्याने घातांक समान करू:
$$4x - 7 = 1$$
$$4x = 8$$
$$x = \frac{8}{4} = \mathbf{2}$$
५. पडताळा:
$$\left(\frac{81^2}{27^3}\right) \times 9 = \frac{6561}{19683} \times 9 = \frac{1}{3} \times 9 = 3\text{ (अगदी बरोबर)}$$
स्पष्टीकरण आकृती (Solution Visual Diagram):
परीक्षेतील संभाव्य चूक / Exam Trap:
$(27^3) = (3^3)^3 = 3^9$ होते, $3^6$ नाही. घातांकाचा घातांक असल्यास घातांकांचा गुणाकार होतो.
स्मृती क्लृप्ती / Memory Booster & Mnemonic:
$$4x - 7 = 1 \implies 4x = 8 \implies x = \mathbf{2}$$!
पर्याय निर्मूलन पद्धत / Option Elimination Strategy:
१. 3: डावी बाजू 243 येते. २. 2: $4(2) - 7 = 1 \implies 3^1 = 3$ (अचूक उत्तर). ३. 1: डावी बाजू 1/27 येते. ४. 10: चुकीचा पर्याय.