Quantitative Aptitude
Solid Figures
पडताळलेले उत्तर (Verified)
MPSC सराव प्रश्न:
धातूचे तीन घन ज्यांच्या बाजू $3 : 4 : 5$ या प्रमाणात आहेत, ते वितळवून एक मोठा घन तयार केला. जर नवीन घनाचा कर्ण $12\sqrt{3}$ सेमी असेल.<br><br><strong>तर सर्वात लहान मूळ घनाची बाजू किती?</strong>
Three metal cubes whose edges are in the ratio $3 : 4 : 5$ are melted down to form a single cube whose body diagonal is $12\sqrt{3}$ cm.<br><br><strong>Find the edge length of the smallest cube.</strong>
पर्याय (Options):
A
3 सेमी
B
8 सेमी
C
अचूक उत्तर (Official Answer)
6 सेमी
D
10 सेमी
सविस्तर स्पष्टीकरण (Detailed Explanation):
अचूक उत्तर: पर्याय (3)
१. घनफळ संवर्धन नियम (Volume Conservation):
तीन घनांच्या बाजू अनुक्रमे $3x$, $4x$ आणि $5x$ मानू.
$$\text{एकूण घनफळ} = (3x)^3 + (4x)^3 + (5x)^3$$
$$\text{एकूण घनफळ} = 27x^3 + 64x^3 + 125x^3 = 216x^3$$
२. नवीन तयार झालेल्या मोठ्या घनाचा आकार:
नवीन घनाचा बाजू $A$ मानल्यास:
$$A^3 = 216x^3 \implies A = \sqrt[3]{216x^3} = 6x$$
३. घनाच्या कर्णाचे सूत्र वापरून:
$$\text{घनाचा कर्ण} = A\sqrt{3}$$
$$6x\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$
$$6x = 12 \implies x = 2$$
४. सर्वात लहान घनाची बाजू:
$$\text{लहान घनाची बाजू} = 3x = 3 \times 2 = \mathbf{6\text{ सेमी}}$$
(तीनही घनांच्या बाजू: $3x = 6\text{ सेमी}$, $4x = 8\text{ सेमी}$, $5x = 10\text{ सेमी}$).
स्पष्टीकरण आकृती (Solution Visual Diagram):
परीक्षेतील संभाव्य चूक / Exam Trap:
प्रश्नात विचारलेली बाजू पहा: 'सर्वात लहान' विचारली आहे ($3 \times 2 = 6$), मधली ($4 \times 2 = 8$) किंवा मोठी ($5 \times 2 = 10$) नाही.
स्मृती क्लृप्ती / Memory Booster & Mnemonic:
घन त्रिकूट नियम: $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$! त्यामुळे नवीन घनाचा आकार नेहमी ६ भाग असतो!
पर्याय निर्मूलन पद्धत / Option Elimination Strategy:
१. 3 सेमी: गुणोत्तराचा भाग (x ने न गुणल्यास). २. 8 सेमी: मधल्या घनाचा आकार ($4x = 8$). ३. 6 सेमी: अचूक उत्तर (लहान घनाची बाजू $3x = 6$). ४. 10 सेमी: मोठ्या घनाचा आकार ($5x = 10$).