१. दिलेली माहिती व आवश्यक सूत्र:
पहिल्या गाडीची लांबी = 260 मीटर
दुसऱ्या गाडीची लांबी = 220 मीटर
एकूण अंतर = 260 + 220 = 480 मीटर
एकाच दिशेने ओलांडण्याचा कालावधी = 8 सेकंद
विरुद्ध दिशेने ओलांडण्याचा कालावधी = 4 सेकंद
पहिल्या व दुसऱ्या गाडीचे वेग अनुक्रमे u आणि v मीटर/सेकंद मानू, जिथे u > v.
एकाच दिशेतील सापेक्ष वेग = u − v
विरुद्ध दिशेतील सापेक्ष वेग = u + v
सापेक्ष वेग = एकूण लांबी ÷ वेळ.
२. पायरी-दर-पायरी गणितीय मांडणी:
एकाच दिशेने:
u − v = 480 ÷ 8 = 60 मीटर/सेकंद ...(1)
विरुद्ध दिशेने:
u + v = 480 ÷ 4 = 120 मीटर/सेकंद ...(2)
समीकरण (2) मधून समीकरण (1) वजा केल्यास:
(u + v) − (u − v) = 120 − 60
u + v − u + v = 60
2v = 60
v = 60 ÷ 2 = 30 मीटर/सेकंद.
मीटर/सेकंदचे किमी/तासमध्ये रूपांतर:
30 × 18/5 = 6 × 18 = 108 किमी/तास.
म्हणून कमी वेगाने धावणाऱ्या गाडीचा वेग 108 किमी/तास आहे.
३. शॉर्टकट / स्मार्ट पद्धत:
विरुद्ध दिशेतील सापेक्ष वेग = 480 ÷ 4 = 120 मीटर/सेकंद.
एकाच दिशेतील सापेक्ष वेग = 480 ÷ 8 = 60 मीटर/सेकंद.
कमी वेग = (विरुद्ध दिशेतील सापेक्ष वेग − एकाच दिशेतील सापेक्ष वेग) ÷ 2
= (120 − 60) ÷ 2 = 30 मीटर/सेकंद
= 30 × 18/5 = 108 किमी/तास.
1. Given Data and Relevant Formula:
Length of Train 1 = 260 m
Length of Train 2 = 220 m
Total distance covered during crossing = 260 + 220 = 480 m
Time in the same direction = 8 s
Time in opposite directions = 4 s
Let the speeds of the two trains be u and v m/s, where u > v.
Relative speed in the same direction = u − v.
Relative speed in opposite directions = u + v.
Relative speed = Total length ÷ Time.
2. Step-by-Step Mathematical Derivation:
When travelling in the same direction:
u − v = 480 ÷ 8 = 60 m/s ...(1)
When travelling in opposite directions:
u + v = 480 ÷ 4 = 120 m/s ...(2)
Subtract equation (1) from equation (2):
(u + v) − (u − v) = 120 − 60
u + v − u + v = 60
2v = 60
v = 60 ÷ 2 = 30 m/s.
Convert m/s to km/h:
30 × 18/5 = 6 × 18 = 108 km/h.
Therefore, the slower train travels at 108 km/h.
3. Shortcut / Speed-Math Method:
Relative speed in opposite directions = 480 ÷ 4 = 120 m/s.
Relative speed in the same direction = 480 ÷ 8 = 60 m/s.
Slower speed = (Opposite-direction relative speed − Same-direction relative speed) ÷ 2
= (120 − 60) ÷ 2 = 30 m/s
= 30 × 18/5 = 108 km/h.
मुख्य चूक म्हणजे एकाच दिशेतील सापेक्ष वेगासाठी वेगांची बेरीज करणे किंवा विरुद्ध दिशेतील सापेक्ष वेगासाठी वजाबाकी करणे. योग्य नियम असा आहे: एकाच दिशेने वेगांची वजाबाकी आणि विरुद्ध दिशेने वेगांची बेरीज. तसेच 30 मीटर/सेकंदचे किमी/तासमध्ये रूपांतर करताना 18/5 ने गुणावे; 5/18 ने गुणल्यास उलट रूपांतर होईल. दोन्ही गाड्या पूर्णपणे ओलांडताना एकूण लांबी 260 + 220 = 480 मीटर घ्यावी.
The main trap is reversing the relative-speed rules: subtract speeds for trains moving in the same direction and add speeds for trains moving in opposite directions. For a complete crossing, use the sum of the train lengths, 260 + 220 = 480 m. To convert m/s to km/h, multiply by 18/5. Multiplying by 5/18 performs the reverse conversion.
दोन गाड्यांच्या पूर्ण ओलांडण्याच्या प्रश्नांसाठी: एकूण अंतर = L₁ + L₂. एकाच दिशेतील सापेक्ष वेग = u − v; विरुद्ध दिशेतील सापेक्ष वेग = u + v. त्यामुळे कमी वेग = [विरुद्ध दिशेतील सापेक्ष वेग − एकाच दिशेतील सापेक्ष वेग] ÷ 2. रूपांतरण: मीटर/सेकंद × 18/5 = किमी/तास.
For two trains completely crossing each other, total distance = L₁ + L₂. Same-direction relative speed = u − v; opposite-direction relative speed = u + v. Hence, slower speed = (Opposite-direction relative speed − Same-direction relative speed) ÷ 2. Conversion rule: m/s × 18/5 = km/h.
पर्याय 1: 108 किमी/तास हा योग्य पर्याय आहे. कारण कमी वेग = 30 मीटर/सेकंद = 108 किमी/तास.
पर्याय 2: 180 किमी/तास चुकीचा आहे. तो 50 मीटर/सेकंद या वेगाशी संबंधित आहे; दिलेल्या सापेक्ष वेगांच्या समीकरणांतून असा वेग मिळत नाही.
पर्याय 3: 240 किमी/तास चुकीचा आहे. हा 480 मीटर अंतराला 2 ने भाग देण्यासारख्या चुकीच्या वेळेच्या वापरामुळे किंवा सापेक्ष वेगाला प्रत्यक्ष वेग समजल्यामुळे येऊ शकतो.
पर्याय 4: 150 किमी/तास चुकीचा आहे. हा 41.67 मीटर/सेकंद या वेगाशी संबंधित आहे; योग्य समीकरणंमधून हा परिणाम मिळत नाही.
Option 1: 108 km/h is correct because the slower speed is 30 m/s, which converts to 108 km/h.
Option 2: 180 km/h is incorrect. It corresponds to 50 m/s, which does not satisfy the relative-speed equations derived from the given lengths and times.
Option 3: 240 km/h is incorrect. It may result from mishandling the crossing time or confusing relative speed with an individual train's speed.
Option 4: 150 km/h is incorrect. It corresponds to approximately 41.67 m/s, which is not obtained from the correct equations.
