सविस्तर स्पष्टीकरण (Detailed Explanation):
अचूक उत्तर: पर्याय (3)
१. दिलेली माहिती व आवश्यक सूत्र:
मुद्दल = P, वार्षिक व्याजदर = 12%, कालावधी = 2 वर्षे, चक्रवाढ व्याज = ₹1,908.
चक्रवाढ व्याजाचे सूत्र:
CI = P[(1 + R/100)^n − 1]
२. पायरी-दर-पायरी उकल:
1,908 = P[(1 + 12/100)^2 − 1]
1,908 = P[(1.12)^2 − 1]
1,908 = P[1.2544 − 1]
1,908 = P × 0.2544
P = 1,908/0.2544
P = 1,908 × 10,000/2,544
P = 1,908 × 625/159
P = 12 × 625
P = ₹7,500.
म्हणून योग्य उत्तर पर्याय 3: 7,500 रुपये.
३. शॉर्टकट / स्मार्ट पद्धत:
दोन वर्षांसाठी 12% वार्षिक चक्रवाढ व्याजाचा प्रभावी दर:
12 + 12 + (12 × 12)/100 = 25.44%.
म्हणून, मुद्दल = 1,908 × 100/25.44 = ₹7,500.
1. Given Data and Formula:
Principal = P, annual interest rate = 12%, time = 2 years, compound interest = ₹1,908.
Formula:
CI = P[(1 + R/100)^n − 1]
2. Step-by-Step Calculation:
1,908 = P[(1 + 12/100)^2 − 1]
1,908 = P[(1.12)^2 − 1]
1,908 = P[1.2544 − 1]
1,908 = P × 0.2544
P = 1,908/0.2544
P = 1,908 × 10,000/2,544
P = 1,908 × 625/159
P = 12 × 625
P = ₹7,500.
Therefore, Option 3 is correct.
3. Shortcut / Speed-Math Method:
The effective compound interest rate for two years at 12% per annum is:
12 + 12 + (12 × 12)/100 = 25.44%.
Hence, Principal = 1,908 × 100/25.44 = ₹7,500.
स्पष्टीकरण आकृती (Solution Visual Diagram):
12% + 12% = 24% असे मानून थांबणे ही सामान्य चूक आहे. चक्रवाढ व्याजात दुसऱ्या वर्षाचे व्याज पहिल्या वर्षाच्या व्याजासह वाढलेल्या रकमेवर मोजले जाते. त्यामुळे अतिरिक्त 12 × 12/100 = 1.44% समाविष्ट करणे आवश्यक आहे. प्रभावी दर 25.44% आहे, 24% नाही. तसेच 1,908 ही चक्रवाढ व्याजाची रक्कम आहे, अंतिम रक्कम नाही.
A common mistake is to add 12% + 12% and use 24% as the two-year compound interest rate. This ignores the interest earned on the first year's interest. The additional rate is (12 × 12)/100 = 1.44%, making the effective rate 25.44%. Also, ₹1,908 is the compound interest, not the final accumulated amount.
दोन वर्षांसाठी वार्षिक r% दराने चक्रवाढ व्याजाचा प्रभावी दर = 2r + r²/100. त्यामुळे CI = P(2r/100 + r²/10,000). येथे r = 12 असल्याने प्रभावी दर = 24 + 1.44 = 25.44%. मुद्दल = चक्रवाढ व्याज × 100/प्रभावी दर.
For annual compounding over two years at r% per annum, the effective compound interest rate is 2r + r²/100. Thus, CI = P[2r/100 + r²/10,000]. At 12%, the effective rate is 24 + 1.44 = 25.44%. Therefore, Principal = Compound Interest × 100/effective rate.
पर्याय 1: ₹6,500 चुकीचा आहे. या मुद्दलावर 25.44% चक्रवाढ व्याज ₹1,653.60 येते, जे दिलेल्या ₹1,908 पेक्षा कमी आहे.
पर्याय 2: ₹5,400 चुकीचा आहे. या मुद्दलावर चक्रवाढ व्याज ₹5,400 × 0.2544 = ₹1,373.76 येते.
पर्याय 4: ₹4,500 चुकीचा आहे. या मुद्दलावर चक्रवाढ व्याज ₹4,500 × 0.2544 = ₹1,144.80 येते.
पर्याय 3: ₹7,500 बरोबर आहे, कारण ₹7,500 × 0.2544 = ₹1,908.
Option 1: ₹6,500 is incorrect because its compound interest would be ₹6,500 × 0.2544 = ₹1,653.60, not ₹1,908.
Option 2: ₹5,400 is incorrect because its compound interest would be ₹5,400 × 0.2544 = ₹1,373.76.
Option 4: ₹4,500 is incorrect because its compound interest would be ₹4,500 × 0.2544 = ₹1,144.80.
Option 3: ₹7,500 is correct because ₹7,500 × 0.2544 = ₹1,908.
